Proporcionalidad

Razón entre dos números a y b es el cociente 

• No tiene unidades
• La diferencia entre la razón y una fracción es que en una fracción tanto a como b son números enteros, mientras que en una razón los números a y b pueden ser enteros o decimales

Una proporción es la igualdad entre dos razones

A a y d se les llama extremos

A b y c se les llama medios

Se lee: “a es a b como c es a d” 

Ejemplo: Las razones 

                forman una proporción, es decir, 

                      ya que          

                     y 

La razón o constante de proporcionalidad es 0,625

Propiedad fundamental de las proporciones. Si dos razones forman una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios

Esta propiedad la utilizarás normalmente para comprobar si dos razones forman proporción

Ejemplo: Observa como se cumple la propiedad en la proporción del ejercicio anterior

Magnitudes directamente proporcionales.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas la otra aumenta o disminuye en el mismo factor

También diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales si la razón entre las cantidades correspondientes se mantiene constante.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número

Ejemplo: En una frutería el kilo de manzanas vale 2,5 €. Las magnitudes peso (en Kg) y precio (en €) son directamente proporcionales y se cumple

Observa que al multiplicar la magnitud peso por un número, la magnitud precio queda multiplicada por el mismo número

Además

Regla de tres

Es un procedimiento que utilizamos para hallar una cantidad desconocida que forma proporción con otras cantidades conocidas, correspondientes a magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplir (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (multiplicada) por el mismo número.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si los productos de las cantidades correspondientes son constantes

Entonces se cumple que: 

a₁·b₁= a₂·b₂= a₃·b₃=....= m·n = k

Al valor k se le llama constante de proporcionalidad inversa

Ejemplo: Si un pintor tarda 48 días en pintar una casa, la relación entre el número de pintores y el tiempo que tardan en pintar la casa es inversamente proporcional, y se cumple que:

En este caso, al multiplicar el número de pintores por un número, el número de días queda dividido por ese mismo número

Además se cumple que 

1·48 = 2·24 = 3·16 = 8·8 = 48

Regla de tres inversa:

La regla de tres simple inversa es un procedimiento para hallar una cantidad desconocida que forma proporción con otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales. En la práctica se forma una proporción entre una razón entre las dos magnitudes y la inversa de otra razón entre las dos mismas magnitudes, en la que se desconoce un término al que llamaremos x . 

Ejemplo:Un tren a una velocidad de 90 km/h tarda 2 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 75 km/h? 

Observa que las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales, pues a más velocidad, menos tiempo tardará el tren en realizar el trayecto. Llamemos x al tiempo que tardará el tren en hacer el trayecto si va a 75 km/h. Entonces:

Reducción a la unidad:

También podemos resolver el problema del ejemplo anterior reduciendo a la unidad. Si tenemos dos magnitudes directamente proporcionales,reducir a la unidad es calcular la cantidad de una de las magnitudes que corresponde a una unidad de la otra magnitud. 

En el ejemplo anterior hallamos lo que tardaría en llegar el tren si se desplazara a 1 km/h:

Aquí tienes algunos ejercicios de proporcionalidad directa y de proporcionalidad indirecta para practicar 

Te dejo unos cuantos ejercicios más para que los trabajes; una vez realizados puedes comprobar las soluciones

Puedes practicar un poco más con los ejercicios que aparecerán si pinchas aquí

Aquí tienes las soluciones de los ejercicios del tema correspondiente de tu libro de texto para que puedas comprobar si has trabajado de manera correcta los que no hayamos hecho en clase