Álgebra. Ecuaciones y sistemas

ECUACIONES

Son igualdades entre dos expresiones algebraicas

Pueden ser:

• POLINÓMICAS: Son aquellas que se pueden escribir en la forma P(x) = 0 (P(x) es un polinomio). 
  Se resuelven de una manera u otra dependiendo del grado del polinomio
  • De primer grado 
    Para resolverlas puedes recordar los pasos a seguir aquí
  • De segundo grado
    Si es completa ax²+ bx + c = 0, aplicamos la fórmula 
    
    
    
    Si es incompleta

    ◊ de la forma ax²+ bx = 0, extraemos x factor común e igualamos a 0 cada factor

    
    
    ◊ de la forma ax²+ c = 0, despejamos x y no olvidamos poner el doble signo al extraer la raíz cuadrada
  • De grado tres o superior la resolvemos factorizando por Ruffini, las raices serán las soluciones de la ecuación
    3x⁴+ x³− 9x²− 9x− 2 = 0 
  • Bicuadradas: Hacemos el cambio de variable x²= z por ejemplo y resolvemos la ecuación resultante de 2º grado en z. Las soluciones de la primera serán las raíces positivas y negativas de z
    
    
    x⁴– 15x² - 16 = 0
• RACIONALES: Están formadas por fracciones algebraicas. Aparecen incógnitas en el denominador
  
  
  
  Una vez reduzcamos a común denominador (hallando el mínimo común múltiplo de los denominadores después de factorizar los polinomios), podremos eliminarlos (¡porque habremos multiplicado por la misma expresión en ambos miembros!!) y trabajaremos con una ecuación polinómica

No olvides comprobar las soluciones!!!!!

No siempre son válidas todas las que hallamos porque al multiplicar por la exprersión del denoominador para poder suprimirlos puede ser que estemos multiplicando por cero y en ese caso la ecuación obtenida no será equivalente a la anterior

• IRRACIONALES: Son aquellas en las que la incógnita aparece en el radicando de una raíz.
  
  
  

Para resolverlas debemos dejar la raiz sóla en un miembro y después elevar al cuadrado ambos miembros para que de esta forma desaparezca la raiz y nos quedemos con una ecuación polinómica.

Una vez resuelta es necesario comprobar si las soluciones son válidas porque al haber elevado al cuadrado podemos haber introducido soluciones no válidas

• EXPONENCIALES: Son aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente

Para resolverlas se aplican las propiedades de las potencia

• O bien expresamos todas las potencias como potencias de la misma base, dejando una sóla en cada miembro para poder igualar los exponentes
  81^2x= 9
• Realizamos un cambio de variable (si aparecen sumas de potencias) para poder convertirla en una ecuación polinómica
  4^x+ 3 · 2^x+1− 16 = 0

• LOGARITMICAS: Son aquellas en las que la incógnita aparece formando parte de un logaritmo.
  Para resolverlas las transformaremos en ecuaciones polinómicas mediante la definición o las propiedades de los logaritmos.

2 logx−log(x+ 4) = log 2

Hay que comprobar las soluciones y descartar las que hagan negativo o nulo el argumento de un logaritmo porque no está definido

Ejercicios de repaso de ecuaciones

Aquí tienes la soluciones de los ejercicios de la unidad correspondiente de tu libro de texto para que puedas comprobar que los has trabajado de manera correcta
Para que puedas practicar más aquí tienes algunos ejercicios de

• Ecuaciones polinómicas. Soluciones
• Ecuaciones racionales e irracionales. Soluciones
• Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Soluciones